本篇是物理学顶级期刊《物理评论快报》（Physical Review Letter）发表论文 Low-Depth Hamiltonian Simulation by an Adaptive Product Formula 的解读。在该论文中，作者提出了一种新型的在量子计算机上模拟量子系统的时间演化的方法，使得模拟所需要的线路深度比起之前的方法大大减少。该工作由南科大本科生张子健（在北大交流期间）、牛津大学博士生孙金钊（共同一作）、北京大学助理教授袁骁、南科大副教授翁文康合作完成。

　　论文地址：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.130.040601

01 问题背景

　　使用量子计算机模拟量子系统的时间演化是量子计算最基础的应用之一。一方面，对新奇量子系统的直接模拟可以在未来为我们提供研究它们的全新范式。另一方面，演化模拟是众多实用量子算法一部分。高效的演化模拟算法使得我们可以更高效地实现那些算法，让它们更有机会在近期量子计算机上为我们展示实用的量子加速。

　　现有的演化模拟算法大多使用较多的量子门^[1]。为了减少量子门的使用量，近年，使用变分量子线路进行演化模拟的理论也被提出^[2]。然而使用一般的变分量子线路不能兼顾演化的质量与线路的低深度，限制了这些算法的实际应用。

02 算法结果

　　我们针对固定初始量子态的情况，提出了一个自适应式的量子演化算法。新算法可以通过测量演化过程中的量子态，自适应地构建用于模拟演化的线路。

　　在算法细节上，我们设计使用了Δ这一指标来衡量，对于特定的初始态\left|\Psi_{0}\right\rangle当前演化线路与真实演化之间的距离。我们通过测量和比较不同线路下Δ的大小，选出Δ最小的线路并固定下来。在Δ低于某个设定的阈值之后，我们便使用构建出来的含参线路进行量子模拟。在模拟的过程中，若Δ高于某个阈值，我们便重新开始构建量子线路来降低Δ。通过这种方式，我们一步一步地构建整个量子线路，使得整个量子演化在Δ较低的条件下完成。这样，我们既使得整个量子线路的深度比较小，也保证了演化模拟的保真度。为了确保我们的算法的通用性（即可以完成任意高的精度模拟），我们证明了在使用哈密顿量的子项的演化作为线路的构建模块的时候，我们的算法可以在有限步内将Δ降到任意低的数值。

　　我们还进一步研究了测量Δ所带来的额外开销。我们发现测量Δ的开销与以下两个因素有关：

　　1. 量子演化的哈密顿量的 norm。

　　2. 更新量子线路的参数的方向向量的 norm。

　　这样，我们便可以针对性的对算法进行进一步优化，以减少测量Δ带来的相比传统算法的额外消耗。

03 数值试验与算法应用

　　我们使用H₂O分子的电子结构哈密顿量（12-qubit），通过经典计算机数值模拟的方法，验证了我们的算法。

　　通过设定不同的Δ阈值，我们在不同的精度下测试了我们的算法。在上图中，我们展示了在算法运行过程中，我们构建出的线路中量子门的数量。我们发现，在Δ_{cut}=0.2时，我们的算法虽然只需要144个 CNOT 门，但是可以给出比使用30个 Trotter step 的一阶 Trotter 方法进行的模拟精度更高的模拟。由于后者使用了1.6 X 10^5个 CNOT 门，可见我们的算法极大地减少了需要的量子门的数量。

　　此外，我们尝试了将我们的算法跟量子 Krylov 算法[3]结合来求解H_4（氢链）哈密顿量的基态能量。我们发现在设置Δ的阈值为0.05的时候，我们的算法成功地达到了化学精度。这比使用15个 Trotter step 的 Trotter 方法要好。相比之下，我们的算法只需要350个 CNOT 门，而 Trotter 方法需要1.98 X 10^4 个 CNOT 门。

参考文献

[1] Childs, A. M., Maslov, D., Nam, Y., Ross, N. J., & Su, Y. (2018). Toward the first quantum simulation with quantum speedup. *Proceedings of the National Academy of Sciences*, *115*(38), 9456-9461.

[2] Yuan, X., Endo, S., Zhao, Q., Li, Y., & Benjamin, S. C. (2019). Theory of variational quantum simulation. *Quantum*, *3*, 191.

[3] Stair, N. H., Huang, R., & Evangelista, F. A. (2020). A multireference quantum Krylov algorithm for strongly correlated electrons. *Journal of chemical theory and computation*, *16*(4), 2236-2245.